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E.E.M. DEP. FERNANDO MOTA
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Teste de Conhecimento em Potenciação e Radiciação
Cada pergunta vale um ponto e resposta errada não anula resposta certa. Boa Sorte!
(FATEC) Das três sentenças abaixo:A) 2
x+3
= 2
x
.2
3
B) (25)
x
= 5
2x
C) 2
x
+ 3
x
= 5
x
Somente a sentença A) é verdadeira
Somente a sentença B) é verdadeira
Somente a sentença C) é verdadeira
Somente a sentença B) é falsa
Somente a sentença C) é falsa
Para responder a questão é necessário analisar individualmente cada uma das três sentenças dadas.
A)
É verdadeira em decorrência da propriedade do produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes;
B)
Podemos escrever como:
(25)
x
= (5
2
)
x
= 5
2x
Na passagem para a segunda igualdade foi utilizada a propriedade: A potência
n
da potência
m
de um número relativo
a
é igual a potência de
a
cujo expoente é o produto dos expoentes
m
e
n.
Logo B) também é verdadeira.
C)
A sentença é obviamente falsa, pois na soma de potências não é viável estabelecer qualquer regra. Para calcular soma de potências é necessário efetuar o cálculo de cada parcela e após somá-las.
No entanto, observe que a sentença é verdadeira para x = 1. Mas, por exemplo, para x = 2 a igualdade não ocorre:
2
2sup> + 3
2
= 4 + 9 = 13 e 5
2
= 25
E portanto, concluímos que a resposta correta é: Somente a sentença C) é falsa.
O valor da expressão:
é:
5
1/6
5
1/4
5
1/8
5
1/2
Nenhuma das respostas anteriores
Da propriedade "a raiz de índice
m
de uma raiz de índice
n
de
a
é igual à raiz de índice
mn
de
a
", cuja demonstração foi feita no post
Exercícios Resolvidos #3 - Radiciação
, Exercício 1, obtemos:
Na última iguldade foi utilizada a seguinte propriedade: "A raiz de índice
n
da potência de grau
m
de
a
é igual à potência de grau
m/n
de
a
", com a = 5, m = 1 e n = 8.
(GV-SP) A expressão (1/2)
-3
+ (1/2)
-5
é igual a:
40
(1/2)
-8
-40
1/40
Nenhuma das respostas anteriores
A solução do exercício é consequência direta do uso da propriedade da potenciação a
-m
= 1/a
m
e da divisão de frações:
(1/2)
-3
+ (1/2)
-5
= 1/(1/2)
3
+ 1/(1/2)
5
= 1/(1/2
3
) + 1/(1/2
5
) =>
(1/2)
-3
+ (1/2)
-5
= 1.(2
3
/1) + 1.(2
5
/1) = 2
3
+ 2
5
= 8 + 32 = 40
Determine o valor da expressão:
2
7
2
9
2
8
2
10
2
57
Observe que o numerador da fração pode ser escrito como:
2
28
+ 2
30
= 2
28
+ 2
28
.2
2
Colocando o termo comum às duas parcelas em evidência vem:
2
28
+ 2
30
= 2
28
(1 + 2
2
) = 2
28
.5
Substituindo o valor na fração:
(2
28
+ 2
30
)/10 = 2
28
.5/10 = 2
28
/2 = 2
27
E, finalmente, extraindo a raiz cúbica de 2
27
obtemos que o valor da expressão é:
2
9
(SANTA CASA - SP) O valor de (3
-1
+ 5
-1
)/2
-1
é:
1/2
1/8
4/15
16/15
Nenhuma das respostas anteriores
Mais uma vez vamos utilizar a propriedade da potenciação a
-m
= 1/a
m
e de operações com fações para obter o resultado do exercício:
E = (3
-1
+ 5
-1
)/2
-1
= (1/3 + 1/5)/(1/2)
Determinando o mmc dos denominadores das frações 1/3 e 1/5, que é igual a 15, e somando essas frações:
E = [(5 + 3)/15]/(1/2) = (8/15)/(1/2)
Para concluir basta utilizar a propriedade da divisão de frações "conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda":
E = (8/15).(2/1) = 16/15
Simplificar o radical
36
26
24
34
44
Inicialmente fatore 576, ou seja transforme 576 no produto de potências, cujas bases são números primos:
576 | 2
288 | 2
144 | 2
072 | 2
036 | 2
018 | 2
009 | 3
003 | 3
001 | 1
Do procedimento acima vem, então, que:
√576 = √2
6
.3
2
= √2
6
.√3
2
= 2
3
.3 =
24
Nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as seguintes propriedades:
A raiz enésima do produto
a
.
b
é igual ao produto das raízes enésimas de
a
e
b
. Na solução: n = 2, a = 2
6
e b = 3
2
;
A raiz enésima de
a
elevado a
m
é igual a raiz de índice
n/p
de
a
elevado a
m/p
obtida dividindo-se o índice e o radicando por
p
. Na solução acima foi utilizada a propriedade para n =2, p = 2 e m = 6 no primeiro fator e m = 2 no segundo.
Se
n
é um número inteiro e
a
é um número real positivo simplifique a expressão a
2n+1
.a
1-n
.a
3-n
a
4
a
n
a
2n
a
6
a
5
A solução da questão é bem simples e é feita pela aplicação direta da seguinte propriedade:
no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes
.
Logo:
a
2n+1
.a
1-n
.a
3-n
= a
2n+1+1-n+3-n
= a
5
Efetue a operação
23
34
3
1/2
33
50
Reescrevendo cada radical da expressão entre parênteses, onde são utilizados a fatoração dos radicandos e a propriedade da raiz de um produto, obtemos:
Agora, substituindo os valores obtidos na expressão:
(PUC - SP) O produto a
m
.a
m
é igual a:
a
a
m-n
a
2m
a
m
2
Nenhuma das respostas anteriores
Mais um exercício simples que visa fixar a propriedade do produto de potências de mesma base, e portanto, de rápida e fácil solução:
a
m
.a
m
= a
m+m
= a
2m
(UMC - SP) Seja
O valor de
n
é:
1
2
3
4
Nenhuma das respostas anteriores
Calculemos primeiro o valor da expressão do lado esquerdo da igualdade:
Substituindo o valor obtido na igualdade dada, temos:
De [1] vem pela definição de radiciação que:
em decorrência do fato de que potências iguais de mesma base têm necessariamente os expoentes iguais.
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